unidad 6

LOGICA DIGITAL


Lógica Digital

La Lógica Digital es la parte de la electrónica que se refiere a la parte matemática, la cual se basa en el Álgebra de Boole. La lógica digital es la base de todos los sistemas de circuitos y de los ordenadores por ejemplo.
En lógica digital todo básicamente se basa en dos estados principales: el 0 y el 1, los cuales significan apagado y encendidorespectivamente.En estas entradas intentaré explicar de una manera sencilla las puertas lógicas, los biestables, los chips CMOS, y muchas cosas más, aparte de mirar por ahí algún “invento”.
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6.3 LÓGICA COMBINACIONAL

Se denomina sistema combinacional o lógica combinacional a todo sistema digital en el que sus salidas son función exclusiva del valor de sus entradas en un momento dado, sin que intervengan en ningún caso estados anteriores de las entradas o de las salidas. Las funciones (OR, AND, NAND, XOR) son booleanas (de Boole) donde cada función se puede representar en una tabla de la verdad. Por tanto, carecen de memoria y de retroalimentación. 
En electrónica digital la lógica combinacional está formada por ecuaciones simples a partir de las operaciones básicas del álgebra de Boole. Entre los circuitos combinacionales clásicos tenemos:

• Lógicos

• Generador/Detector de paridad
• Multiplexor y Demultiplexor
• Codificador y Decodificador
• Conversor de código
• Comparador

• Aritméticos

• Sumador

• Aritméticos y lógicos

• Unidad aritmético lógica

Éstos circuitos están compuestos únicamente por puertas lógicas interconectadas entre sí.

Una puerta lógica, o compuerta lógica, es un dispositivo electrónico con una función booleana. Suman, multiplican, niegan o afirman, incluyen o excluyen según sus propiedades lógicas. Se pueden aplicar a tecnología electrónica, eléctrica, mecánica, hidráulica y neumática. Soncircuitos de conmutación integrados en un chip.
Claude Elwood Shannon experimentaba con relés o interruptores electromagnéticos para conseguir las condiciones de cada compuerta lógica, por ejemplo, para la función booleana Y (AND) colocaba interruptores en circuito serie, ya que con uno solo de éstos que tuviera la condición «abierto», la salida de la compuerta Y sería = 0, mientras que para la implementación de una compuerta O (OR), la conexión de los interruptores tiene una configuración en circuito paralelo.
La tecnología microelectrónica actual permite la elevada integración de transistores actuando como conmutadores en redes lógicas dentro de un pequeño circuito integrado. El chip de la CPU es una de las máximas expresiones de este avance tecnológico.
En nanotecnología se está desarrollando el uso de una compuerta lógica molecular, que haga posible la miniaturización de circuitos.


La puerta lógica SÍ, realiza la función booleana igualdad. En la práctica se suele utilizar como amplificador de corriente o como seguidor de tensión, para adaptar impedancias (buffer en inglés).
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta SÍ es:

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad puerta SI

Entrada	Salida
0	0
1	1

6.3.1 COMPUERTAS LOGICAS 

Las computadoras digitales utilizan el sistema de números binarios, que tiene dos dígitos 0 y 1. Un dígito binario se denomina un bit. La información está representada en las computadoras digitales en grupos de bits. Utilizando diversas técnicas de codificación los grupos de bits pueden hacerse que representen no solamente números binarios sino también otros símbolos discretos cualesquiera, tales como dígitos decimales o letras de alfabeto. Utilizando arreglos binarios y diversas técnicas de codificación, los dígitos binarios o grupos de bits pueden utilizarse para desarrollar conjuntos completos de instrucciones para realizar diversos tipos de cálculos.

La información binaria se representa en un sistema digital por cantidades físicas denominadas señales, Las señales eléctricas tales como voltajes existen a través del sistema digital en cualquiera de dos valores reconocibles y representan una variable binaria igual a 1 o 0. Por ejemplo, un sistema digital particular puede emplear una señal de 3 volts  para representar el binario "1" y 0.5 volts  para el binario "0". La siguiente ilustración muestra un ejemplo de una señal binaria.

Como se muestra en la figura, cada valor binario tiene una desviación aceptable del valor nominal. La región intermedia entre las dos regiones permitidas se cruza solamente durante la transición de estado.  Los terminales de entrada de un circuito digital aceptan señales binarias dentro de las tolerancias permitidas y los circuitos responden en los terminales de salida con señales binarias que caen dentro de las tolerancias permitidas.

La lógica binaria tiene que ver con variables binarias y con operaciones que toman un sentido lógico. La manipulación de información binaria se hace por circuitos lógicos que se denominan Compuertas.

Las compuertas son bloques del hardware que producen señales en binario 1 ó 0 cuando se satisfacen los requisitos de entrada lógica. Las diversas compuertas lógicas se encuentran comúnmente en sistemas de computadoras digitales. Cada compuerta tiene un símbolo gráfico diferente y su operación puede describirse por medio de una función algebraica. Las relaciones entrada - salida de las variables binarias para cada compuerta pueden representarse en forma tabular en una tabla de verdad.

A continuación se detallan los nombres, símbolos, gráficos, funciones algebraicas, y tablas de verdad de las compuertas más usadas.

Compuerta AND:  (ver funcionamiento) Cada compuerta tiene dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada por x. La compuerta AND produce la multiplicación lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0. Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1. El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*). Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si todas las entradas son 1.
Compuerta OR:  (ver funcionamiento) La compuerta OR produce la función sumadora, esto es, la salida es 1 si la entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0. El símbolo algebraico de la función OR (+), es igual a la operación de aritmética de suma. Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
Compuerta NOT: (ver funcionamiento) El circuito NOT es un inversor que invierte el nivel lógico de una señal binaria. Produce el NOT, o función complementaria. El símbolo algebraico utilizado para el complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria. Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa. El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa un inversor lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.
Compuerta Separador (yes): Un símbolo triángulo por sí mismo designa un circuito separador, el cual no produce ninguna función lógica particular puesto que el valor binario de la salida es el mismo de la entrada. Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza 5 volt para el binario 1, producirá una salida de 5 volt cuando la entrada es 5 volt. Sin embargo, la corriente producida a la salida es muy superior a la corriente suministrada a la entrada de la misma. De ésta manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que requieren una cantidad mayor de corriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a la entrada del separador.
Compuerta NAND: (ver funcionamiento) Es el complemento de la función AND, como se indica por el símbolo gráfico, que consiste en una compuerta AND seguida por un pequeño círculo (quiere decir que invierte la señal). La designación NAND se deriva de la abreviación NOT - AND. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que es la función AND la que se ha invertido. Las compuertas NAND pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función AND.
Compuerta NOR:   (ver funcionamiento) La compuerta NOR es el complemento de la compuerta OR y utiliza el símbolo de la compuerta OR seguido de un círculo pequeño (quiere decir que invierte la señal). Las compuertas NOR pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función OR.

 


 6.3.2 DISEÑO DE CIRCUITOS 
El diseño de circuitos es la parte de la electrónica que estudia distintas metodologías con el fin de desarrollar un circuito electrónico, que puede ser tanto analógico como digital.
En función del número de componentes que forman el circuito integrado se habla de diferentes escalas de integración. Las fronteras entre las distintas escalas son difusas, pero se denominan SSI (Small Scale of Integration) los circuitos de baja complejidad (algunas docenas de componentes en un mismo chip), MSI (Medium Scale of Integration) y LSI (Large Scale Integration) los circuitos de media y alta complejidad, y finalmente VLSI (Very Large Scale Integration) para circuitos extraordinariamente complejos, hasta cientos de millones de transistores. En esta última categoría entrarían losmicroprocesadores modernos.
El diseño se realiza a distintos niveles. Por una parte tenemos la parte física, donde se diseña la estructura real de los componentes electrónicos que constituyen el circuito, sus dimensiones, materiales. Por encima podemos encontrar métodos de diseño de cada vez más alto nivel, hasta llegar a los llamados lenguajes de descripción de hardware. Éstos permiten introducir descripciones de los distintos bloques funcionales de un sistema para su simulación, verificación e incluso para la generación automática del circuito físico con la herramienta de síntesis apropiada. Algunos de los lenguajes de descripción de hardware más conocidos y empleados son VHDL y Verilog. En general los circuitos analógicos no permiten este grado de automatización y se requiere un diseño más artesano, donde la distribución física de los componentes desempeña un papel fundamental en el resultado final.

6.3.3 FAMILIAS LOGICAS

1.- FAMILIA TTL ESTÁNDAR

La familia lógica TTL-Estándar (TTL = transistor-transistor logic o lógica transistor-transistor) es una familia "saturante" de TTL caracterizada fundamentalmente por su rapidez.

Es saturante porque la mayor parte de los transistores que la forman trabajan en corte-saturación. Estos transistores conducen tan pronto como la corriente de base sea suficiente para hacer que la intensidad de colector sea la de saturación. Pero el funcionamiento no suele ser así. Normalmente, un transistor con ganancia en corriente elevada requiere una considerable corriente de base lo que favorece la entrada en saturación del transistor. Cuando queremos que el transistor pase al corte, el exceso de carga acumulado en la base tarda en desalojarse, lo que contribuye a que los tiempos de conmutación del transistor sean mayores.

Una de las mejoras introducidas por la familia TTL-Estándar es la utilización de un transistor de entrada multiemisor que favorece el paso del estado de saturación al de corte, retirando la carga almacenada en la base del transistor durante la saturación.

2.- FAMILIA TTL-SCHOTTKY

Uno de los principales problemas que existen en la familia TTL-Estándar es la pérdida de velocidad en la conmutación, debido a que la mayoría de los transistores trabaja en corte-saturación y es difícil evacuar el exceso de carga almacenada en la región de base durante la saturación.

Este problema tiene solución con la aparición de la familia TTL-Schottky. Se trata de evitar que los transistores alcancen el estado de saturación. De esta manera se reduce el exceso de carga en la región de base, de forma que se tardará menos en evacuarla cuando el transistor intente pasar al corte, lo que se traduce en un aumento considerable de la velocidad.

3.- FAMILIA TTL-LS

Con la familia TTL-S habíamos conseguido un gran aumento de velocidad de conmutación con respecto a la TTL-Estándar, pero también se había aumentado la corriente que circulaba por la puerta y, por lo tanto, su consumo de potencia. A partir de la TTL-S se obtuvo la familia TTL-LS; TTL Schottky de baja potencia (TTL-Low Power Schottky). Con esta familia se obtiene un consumo menor de potencia, pero se reduce la velocidad de conmutación.

A pesar de esto, la velocidad que se ha obtenido es muy parecida a la de la TTL-Estándar pero el consumo de potencia se ha reducido en un factor de cinco.

La familia TTL-LS, como descendiente de la familia TTL-S, sigue utilizando el diodo Schottky.

4.- FAMILIA TTL-ALS

La familia "Schottky de baja potencia avanzada" (Advanced Low-power Schottky, ALS) es una de las más avanzadas de la familia TTL. En ésta se aumenta dos veces la eficiencia de conducción y se ofrece más del 50 % de reducción de potencia en comparación con la familia TTL-LS. Con esta familia se mejora el producto Potencia-Velocidad.

Vamos a explicar el por qué de la importancia del producto Potencia-Velocidad. El producto Potencia-Velocidad (power-speed) es un sistema de medida (cuya unidad es el picojulio) utilizado en los circuitos donde la velocidad y la potencia son factores muy importantes.

En los circuitos digitales vistos hasta ahora, hemos observado que siempre se intenta reducir el consumo del circuito (con el fin de que gaste menos energía, sea más barato y sea menos propenso a la ruptura) y aumentar la velocidad de conmutación (con lo cual la información será transmitida más rápidamente). Por eso, el producto potencia-velocidad es muy importante.

Lo ideal sería tener un circuito con un producto Potencia-Velocidad = 0.

En los ALS el producto potencia-velocidad es unas cuatro veces menor que en TTL-LS Y alrededor de veinte veces menor que en TTL. Los circuitos ALS ofrecen, entre otras, las siguientes ventajas adicionales:

· Compatible con las familias 74, 74S, 74LS.

· Corriente de entrada reducida al 50 % respecto a TTL-Estándar.

5.- FAMILIA TTL-AS

En el capítulo anterior vimos que la familia TTL-ALS ofrecía una serie de ventajas con respecto a la familia TTL-LS.  Por otro lado, según lo visto hasta ahora, la familia lógica que nos ofrece una mayor rapidez es la TTL-Schottky (TTL-S).  Con el fin de mejorar las características de TTL-S surge la familia TTL-Advanced Schottky (TTL-AS = TTL-Schottky Avanzada).

La familia lógica TTL-AS ofrece una reducción de disipación de potencia y de retardo de un 50 % con respecto a TTL-S, mientras que el producto Potencia-Velocidad es reducido unas cuatro veces con respecto a esta misma familia 1.

La familia TTL-AS proporciona las siguientes ventajas adicionales:

· Reducción del 50 % de la intensidad requerida a la entrada.

· Retardos de propagación pequeños y elevadas frecuencias de reloj con relativo bajo consumo.

6.- FAMILIA FAST

La familia FAST, donde FAST proviene de TTL Schottky Avanzada de FAIRCHILD (FAIRCHILD Advanced Schottky TTL) es el último paso en TTL. Fue creada en la década de los 80 y debido a su alta velocidad de conmutación puede trabajar en áreas hasta ahora reservadas para la lógica "ECL IOK" utilizando los diseños TTL básicos y una única alimentación de 5V. La alta impedancia de entrada de la familia FAST permite la interconexión directa con los circuitos de las familias TTL-LS, TTL-ALS y HCMOS en un mismo sistema.

Los circuitos FAST reducen en 1/4 la potencia que disipan con respecto a la familia TTL-S ya sea trabajando a nivel alto o bajo mejorando además el producto Potencia-Velocidad.

La mayoría de los sistemas diseñados con circuitos TTL-S, pueden funcionar reemplazando estos circuitos por sus equivalentes de la familia FAST.

7.- FAMILIA ECL

Como hemos visto hasta ahora, las familias lógicas que utilizan los transistores con atrapamiento Schottky son las únicas en las que sus transistores no alcanzan la saturación y por tanto son más rápidas (aunque el diodo Schottky aumente un poco la capacidad de entrada del transistor correspondiente).

Desde hace muchos años existe una familia que utiliza el principio de no conseguir la saturación de los transistores; la forma que tiene de hacerlo no es empleando diodos Schottky en los transistores, sino mediante un diseño particular de sus circuitos internos.  Nos estamos refiriendo a la familia ECL o Lógica de Emisores Acoplados (Emitters Coupled Logic).

La familia ECL tiene dos variantes:

· ECL serie 10000 o ECL IOK.

· ECL serie 100000 o ECL IOOK.

Ambas familias (IOK y IOOK) son prácticamente idénticas con la diferencia de que la familia ECL IOOK es un poco más rápida que ECL IOK y además posee una mayor estabilidad frente a variaciones de la temperatura.

Las familias ECL son las más rápidas que existen en el mercado, llegando sus retardos a sobrepasar en muchas ocasiones un nanosegundo por puerta y la frecuencia de reloj suele ser de 50 MHz, pudiendo llegar a las cercanías del GHz. Todo esto las hace recomendables en contadores, comunicaciones digitales de alta velocidad, sistemas de cálculo de alta velocidad, etc .

Por lo comentado anteriormente, la familia ECL tiene unas propiedades ideales; pero falta comentar sus características en cuanto a la disipación de potencia. De esta manera, si ECL es la familia más rápida que existe en el mercado, también es la familia que más potencia disipa (20 mW por puerta), y si a esto le añadimos que su tensión de alimentación es negativa, entonces podemos decir que no es una familia tan apetecible como en un principio parecía, puesto que no sólo consume mucho, sino que los niveles lógicos que proporciona no son en nada compatibles con los de las restantes familias lógicas, por lo que los problemas en la interconexión con otras familias lógicas son muchos.

8.- FAMILIA CMOS 4000

Es sabido el afán por conseguir velocidades de conmutación cada vez más altas en los circuitos integrados digitales para el diseño de sistemas electrónicos. Hasta ahora, las tecnologías bipolares (TTL) eran las únicas que satisfacían las necesidades de velocidad y corriente. Las técnicas PMOS y NMOS no podían competir debido a su lentitud; sin embargo, con las tecnologías mejoradas apareció la primera serie comercial de CMOS (Complementary Symmetry / Metal Oxide Semiconductor - Semiconductor Oxido Metal / Simetría Complementaria), dada en la serie 4000, bajo el nombre registrado de COS/MOS. En esta familia se aplican conjuntamente las técnicas PMOS y NMOS.

Esta familia tiene velocidades más cercanas a las de la familia TTL-Estándar que PMOS y NMOS.  Como ventajas sobre las familias TTL hay que destacar que su consumo puede ser miles, incluso millones de veces inferior, siempre y cuando las frecuencias de trabajo no sean muy elevadas.

En esta familia se disminuye el volumen de los circuitos, aparte de que tiene una gran inmunidad al ruido y funciona con una amplia gama de valores de tensiones de alimentación. Hay que destacar el gran daño que pueden producir las descargas electrostáticas en los circuitos CMOS.

9.- FAMILIA CMOS HE4000

La familia CMOS 4000 había logrado ofrecer unas características tales como un bajo consumo de corriente, poca disipación de potencia, amplia gama de tensiones de funcionamiento y una excelente inmunidad a ruidos. A pesar de que su velocidad de conmutación se acercaba a las de TTL, seguía siendo muy lenta en comparación con ésta. Posteriormente se creó la familia 74Cxx (C = CMOS) con patillaje TTL, en la que se mejoraban las características de los CMOS 4000; pero estas mejoras no eran suficientes.

Para que la familia CMOS pudiera ser algo más competitiva había que aumentar la velocidad de los circuitos, pero para ello se deberían disminuir las capacidades parásitas del integrado. Esto es lo que se consigue en los circuitos de la familia CMOS HE4000 debido a una nueva tecnología empleada en su fabricación: Tecnología de Puerta de Silicio.

Las ventajas de la familia CMOS HE4000 son las mismas que las de la familia CMOS 4000, es decir, disipan mucha menos potencia (mientras no se trabaje a muy altas frecuencias), se disminuye el volumen de los circuitos, tienen una gran inmunidad al ruido, funcionan con una amplia gama de valores de tensiones de alimentación, tienen un intervalo de temperatura de funcionamiento más amplio, tienen un fan-out elevado y además tienen mayor velocidad.

10.- FAMILIA HCMOS

El uso de tecnologías digitales basadas en la utilización de transistores bipolares (TTL) ha sido masivo hasta hace pocos años. Esto era así debido a las buenas características que presentan las familias derivadas de TTL respecto a la elevada velocidad de trabajo y a un relativo bajo consumo; todo esto mejorado con la aparición de las tecnologías TTL-AS, TTL-ALS y FAST. La única alternativa a las familias TTL era la serie 4000 de CMOS, pero a pesar de su reducido consumo, su excesiva lentitud limitaba en buena parte su utilización.

Desde hace pocos años está disponible la familia CMOS de alta velocidad (Highspeed CMOS.- HCMOS).  Las propiedades de las familias lógicas CMOS de alta velocidad se han mejorado espectacularmente en relación con la serie 4000 de CMOS; de manera que la velocidad se ha aumentado a niveles comparables con la familia TTL-LS mientras que el consumo es del orden de un millón de veces inferior a esta familia en régimen estático.

Todas estas propiedades hacen que esta familia se haya difundido rápidamente en el mercado y esté sustituyendo con claridad a las familias TTL.

11.- FAMILIA ACL

Según lo visto en el capítulo anterior, parecía que la lucha por conseguir una familia lógica con más prestaciones había llegado a su fin con la aparición de la familia HCMOS. Todo eran ventajas: bajo consumo, muy buena velocidad, amplio margen de tensión de alimentación y temperatura de trabajo, etc. Pero en tecnología digital, nunca existe una familia perfecta y siempre surgen nuevas familias que mejoran las características de la familia lógica que creíamos que era insuperable.

Lo más novedoso en tecnología CMOS es la familia lógica CMOS Avanzada (ACL- Advanced CMOS Logic). Esta familia introduce una gran mejora en velocidad y disipación de potencia con respecto a la familia HCMOS, cosa que parecía muy difícil cuando analizamos a esta última en el capítulo anterior.

Podemos decir que la familia lógica que mejor combina el retardo y la potencia disipada es la familia ACL.

 

6.3.4 APLICACIÓN DE COMPUERTAS LÓGICAS  
En la actualidad, los sistemas digitales son muy utilizados y variados para diferentes tipos de aplicaciones las cuales en su mayoría son aplicadas en la industria y en mayor parte de los equipos electrónicos.
Es por esto que es necesario saber a grandes rasgos las aplicaciones, y cómo funcionan los diferentes tipos de sistemas digitales, así nosotros poder desarrollar la capacidad de aplicar y de poder trabajar con ellos sin ningún tipo de dificultad.
Esencialmente, un microprocesador es un circuito de alta escala de integración (LSI), compuesto de muchos circuitos más simples como son los Fip-flops, contadores, registros, decodificadores, comparadores, etc; todos ellos en una misma pastilla de silicio, de modo que el microprocesador puede ser considerado un dispositivo lógico de propósito general o universal. Todos estos componentes que llevan a cabo físicamente la lógica y operación del microprocesador se denominan el hardware del microprocesador. Además existe una lista de instrucciones que puede realizar o acciones que puede llevar a cabo el micro. Éstas constituyen el lenguaje del microprocesador o software. Es por esto que a continuación le presentamos el siguiente trabajo, destinado a comprender de mejor manera las distintas funciones y aplicaciones de los contadores.

unidad 5

5.1 SITEMAS NUMERICOS

Sistemas numéricos

Un sistema numérico son un conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para representar datos numéricos o cantidades. Se caracterizan por su base que indican el número de símbolos distinto que utiliza y además es el coeficiente que determina cual es el valor de cada símbolo dependiendo de la posición que ocupe. Estas cantidades se caracterizan por tener dígitos enteros y fraccionarios.

Si aj indica cualquier dígito de la cifra, b la base del sistema de numeración y además de esto la cantidad de dígitos enteros y fraccionarios son n y k respectivamente, entonces el número representado en cualquier base se puede expresar de la siguiente forma:

Nb = [an-1.an-2.an-3..........a3.a2.a1.a0,a-1.a-2.a-3 .......a-k]b

Donde: j = {n-1, n-2,.........2, 1, 0,-1, -2, ......, -k} y n + k indica la cantidad de dígitos de la cifra.

Por ejemplo, el número 31221, 324 en base cuatro tiene n=5 y k=2 con la parte entera: an-1=a4=3; a3=1; a2=2; a1=2; a0=1 y parte fraccionaria a-1=3; a-2=2

SISTEMA DECIMAL.

Este es el sistema que manejamos cotidianamente, está formado por diez símbolos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} por lo tanto la base del sistema es diez (10).

SISTEMA BINARIO.

Es el sistema que utiliza internamente el hardware de las computadoras actuales, se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0. Por tanto su base es 2 (número de dígitos del sistema). Cada dígito de un número en este sistema se denomina bit (contracción de binarydigit). Se puede utilizar con nombre propio determinados conjuntos de dígitos en binario. Cuatro bits se denominan cuaterno(ejemplo: 1001), ocho bits octeto o byte (ejemplo: 10010110), al conjunto de 1024 bytes se le llama Kilobyte o simplemente K, 1024 Kilobytes forman un megabyte y 1024 megabytes se denominan Gigabytes.

SISTEMA OCTAL.

El sistema numérico octal utiliza ocho símbolos o dígitos para representar cantidades y cifras numéricas. Los dígitos son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; la base de éste es ocho (8) y es un sistema que se puede convertir directamente en binario como se verá más adelante.

SISTEMA HEXADECIMAL.

El sistema numérico hexadecimal utiliza dieciséis dígitos y letras para representar cantidades y cifras numéricas. Los símbolos son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}; la base del sistema es dieciséis (16). También se puede convertir directamente en binario como se verá más adelante. En la tabla 1.1 se muestran los primeros veintiuno números decimales con su respectiva equivalencia binaria, octal y hexadecimal.

DECIMAL	BINARIO	OCTAL	HEXADECIMAL
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
19	10011	23	13
20	10100	24	14

5.1.1 REPRESENTACIONES Y CONVERCIONES ENTRE BASE

SISTEMAS NUMÉRICOS: Conversiones y Operaciones

Es la manera de representar la información y estos se clasifican en:Sistema binario, se representa con: 0,1 y su base es: 2Sistema octal, se representa con: 0,1,2,3,4,5,6,7 y su base es: 8Sistema decimal, se representa con: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 y su base es: 10Sistema hexadecimal, se representa con: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F y su base es:16.

SISTEMA BINARIO

Binario, significa dos, y es el principio fundamental en que se basan las computadorasdigitales. Todo lo que se ingresa a la computadora se convierte en números binariosconformados por los dos dígitos 0 y 1 (bits). Por ejemplo, cuando presiona la tecla "A"en su computadora personal, el teclado genera y transmite el número 01000001 a lamemoria de la computadora como una serie de pulsos. Los bits 1 se transmiten comovoltaje alto, mientras que los bits 0, como voltaje bajo.

SISTEMA OCTAL

Un sistema de numeración que emplea ocho dígitos. Es utilizado como una formaabreviada de representar números binarios que emplean caracteres de seis bits. Cada tres bits (medio carácter) es convertido en un único dígito octal. Okta es un término griegoque significa 8.

SISTEMA DECIMAL

Decimal, significa 10. Sistema de numeración universal que usa 10 dígitos. Lascomputadoras utilizan números binarios, ya que resulta más fácil diseñar sistemaselectrónicos que puedan mantener dos estados en vez de 10.

SISTEMA HEXADECIMAL

Hexa, significa dieciséis; un sistema numérico de base 16 usado como una formaabreviada de representar todos los valores posibles de un byte. A cada medio byte(cuatro bits) se le asigna un dígito hexa. El hexadecimal se utiliza para representar  bytes por su uniformidad en la impresión y en la presentación por pantalla. Dos dígitoshexadecimales siempre constituyen un byte, mientras que el valor decimal de un byte puede ser un número desde uno hasta tres dígitos de longitud (0 a 255).

CONVERSIÓN DEL BINARIO AL DECIMAL

Para realizar la conversión de Binario a Decimal, realice lo siguiente:1) Inicie por el lado derecho del numero Binario, cada numeromultiplíquelo por (2) y elevarlo a la potencia consecutiva (iniciando por la potencia 0).2) Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y élnumero resultante será el equivalente al Sistema Decimal

5.1.2 OPERACIONES BASICAS 

Una operación es un conjunto de reglas que permiten obtener otras cantidades o expresiones.

Las siete operaciones básicas de la Aritmética son:

Suma

La operación suma consiste en obtener el número total de elementos a partir dos o más cantidades.

a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma

1. Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

2. Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

3. Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

4.Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

a − a = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

La suma de números naturales no cumple esta propiedad.

Resta

La resta o sustracción es la operación inversa a la suma.

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamosdiferencia.

Propiedades de la resta

No es Conmutativa:

a − b ≠ b − a

Multiplicación

Multiplicar dos números consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.

a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Propiedades de la multiplicación

1. Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado

(a · b) · c = a · (b · c)

2. Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

3. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a · 1 = a

4. Elemento inverso:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

La suma de números naturales y de enteros no cumple esta propiedad.

5. Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

6. Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

División

La división o cociente es una operación aritmética que consiste en averiguar cuántas veces un número está contenido en otro número.

D : d = c

Los términos que intervienen en un cociente se llaman, D, dividendo y ddivisor. Al resultado, c, lo llamamoscociente.

Tipos de divisiones

1. División exacta:

Cuando el resto es cero.

D = d · c

2. División entera:

Cuando el resto es distinto de cero.

D = d · c + r

Propiedades de la división

1. No es Conmutativo:

a : b ≠ b : a

2. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : a = 0

3. No se puede dividir por 0.

Potenciación

La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales.

a · a · a · ... = aⁿ

Base

Es el número que multiplicamos por sí mismo.

Exponente

Indica el número de veces que multiplicamos la base.

Propiedades de la potencias

1. a⁰ = 1

2. a¹ = a

3. Producto de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

a^m · a ⁿ = a^m+n

4. División de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

a^m: a ⁿ = a^{m - n}

2⁵ : 2² = 2^{5 - 2} = 2³

5. Potencia de una potencia:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(a^m)ⁿ = a^{m · n}  

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

aⁿ· b ⁿ = (a · b) ⁿ

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

aⁿ: bⁿ= (a : b)ⁿ

Radicación

Es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

  

indice √ radicando =raiz

En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso no se pondría. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.

√ radicando = raiz

La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b² = a.

Cuadrados perfectos

Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.

Raíz cuadrada exacta

Radicando = (Raíz exacta)²

Raíz cuadrada entera

Radicando = (Raíz entera)² + Resto

Logaritmación

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

loga x= y  => av= x    a< 0 y a ‡1

Propiedades de los logaritmos

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

z log-ax

No existe el logaritmo de un número negativo.

z loga (-x)

No existe el logaritmo de cero.

z loga 0

El logaritmo de 1 es cero.

loga 1=0

El logaritmo en base a de a es uno.

loga a=0

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

loga an =n

Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

loga (x.y) =loga x + logay

Logaritmo de un cociente

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

loga (x) =loga x - logay          y

Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

loga (xn)= n loga x

Logaritmo de una raíz

El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

loga (n√x) 1/n loga x

5.1.3 ALGORITMOS DE BOOTH

ALGORITMO DE BOOTH

El algoritmo de Booth es un método rápido y sencillo para obtener el producto de dos números binarios con signo en notación complemento a dos.

Complemento a1

Para obtener el complemento a uno del numero en binario solo consta en cambiar sus ceros por unos, y sus unos por ceros (complementar): (010010 -> ca1:101101)

Complemento a2

El complemento a dos de un número binario es el resultado de sumar 1 al complemento a uno de dicho número binario (NOTA: En el Ca1 sólo se complementa si el número es negativo):  mi numero en decimal es 86

Realizar una multiplicación con el algoritmo de Booth, resulta mucho más sencillo de implementar. Partimos del ejemplo de la multiplicación 6·2=12:

1º Obtengo mis números (multiplicando y multiplicador) en binario con longitud de 8 bits

2º  asigno A= multiplicando, S= Complemento a2 de A, P= 8 bits en 0. Agrego 7 bits extras a la derecha de A y S, en P agrego el valor de multiplicador con longitud de 8 bits y un bit extra con valor 0. Como se indica a continuación:

Como se puede ver en la imagen superior, partiendo de los números binarios de la multiplicación 6·2 (multiplicando y multiplicador) creamos tres nuevos números binarios del doble de tamaño (16 en el ejemplo): A, S y P.

3o Partiendo del número P (producto) comenzamos a comparar los últimos 2 bits de la derecha, siguiendo los casos base del recuadro:

0  0  No hacer nada

0  1 P = P + A

1  0  P = P + S

1  1  No hacer nada

Se realizará esta comparación 8 veces en este ejemplo (número de bits de los operandos) y al final de cada comparación, realizamos un desplazamiento de un bit hacia la derecha, manteniendo el último bit de la izquierda, y descartando el último bit del lado contrario. Si hacemos una traza paso a paso nos quedarían los siguientes resultados:

Finalmente obtenemos el número en binario resultante (12 en este ejemplo), descartando el bit extra que hemos añadido al principio del procedimiento y que se encuentra en el extremo a la derecha.

  

El algoritmo de booth es un algoritmo que sirve para multiplicar (y dividir) números binarios con signo de manera rápida y sencilla en complemento a dos. Aqui explico de manera detallada el funcionamiento de ese algoritmo y muestro una implementacion del mismo para microcontroladores PIC.

La manera en que se representan los números binarios negativos es mediante su complemento a dos. El complemento a uno consiste en invertir el valor de cada bit, esto es que si se tiene el número 5 binario b’00000101′ su complemento a uno seríab’11111010′. Una vez teniendo el complemento a 1 para obtener el complemento a dos simplemente se le debe sumar un 1, asi que se tiene b’11111010 + 1′ de modo que el complemento a dos del número 5 binario es b’11111011′.

Ese es un dato muy importante ya que de ese modo se representan los números binarios negativos y el complemento a dos es parte del algoritmo de multiplicación de Booth. También es importante explicar que utilizando números de 8 bits el número mayor que se puede representar en complemento a dos es 127 y -127 que en binario son b’01111111′ y b’1000001′ respectivamente.

5.1.4 ALGORITMOS DE DIVICION

Dados enteros a, b con b0 existen enteros q y r tales que
a = b q + r   y   0 r |b|

Al número a se le llama dividendo.
Al número b se le llama divisor.
Al número q se le llama cociente.
Al número r se le llama residuo.

En el caso particular que a y b sean enteros positivos, se trata de hallar el número de veces que el dividendo contiene al divisor. Este número se llama cociente, y lo que queda se llama residuo.

5.2 ALGEBRA BOOLEANA

Álgebra Booleana

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

• Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
• Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.
• Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
• Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
• Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.
• Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores:
- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero.
- El símbolo ·  representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·,  por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.
- El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B.
- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A.
- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.
Utilizaremos además los siguientes postulados:

• P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT
• P2 El elemento de identidad con respecto a ·  es uno y con respecto a +  es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT
• P3 Los operadores ·   y + son conmutativos.
• P4 ·   y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C).
• P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A.
• P6 ·   y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).

Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

• Teorema 1: A + A = A
• Teorema 2: A · A = A
• Teorema 3: A + 0 = A
• Teorema 4: A · 1 = A
• Teorema 5: A · 0 = 0
• Teorema 6: A + 1 = 1
• Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
• Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
• Teorema 9: A + A · B = A
• Teorema 10: A · (A + B) = A
• Teorema 11: A + A'B = A + B
• Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
• Teorema 13: AB + AB' = A
• Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
• Teorema 15: A + A' = 1
• Teorema 16: A · A' = 0

Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático que los descubrió.

Características:
Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:
1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x
+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro)  que representaremos por x'.
2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)
Y 3- Tiene las siguientes propiedades:

• Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
  Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
  Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
  Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
  Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz
  Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)
  Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
  Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
  Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
  Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0

Propiedades Del Álgebra De Boole

1. Idempotente respecto a la primera función: x + x = x
   Idempotente respecto a la segunda función: xx = x
   Maximalidad del 1: x + 1 = 1
   Minimalidad del 0: x0 = 0
   Involución: x'' = x
   Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x
   Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = xLey de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'
   Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'

Función Booleana
Una función booleana es una de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.
Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar si o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La función devolverá sí (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0.
Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0.
Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las variables o sus negaciones.

El número posible de casos es 2n. 
Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles casos son:
Votos         Resultado
ABCD
1111              1
1110              1
1101              1
1100              0
1011              1
1010              0
1001              0
1000              0
0111              1
0110              0
0101              0
0100              0
0011              0
0010              0
0001              0
0000              0

Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mínimos (minterms) iguales a 1.

En nuestro ejemplo la función booleana será:
f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB'CD + A'BCD

5.2.1 TEORAMA Y POSTULADOS

 TEOREMAS Y POSTULADOS DEL  ALGEBRA DE BOOLE

1.  Propiedad de cierre. 
    Para un conjunto s se dice que es cerrado para un operador binario si para cada elemento de S el operador binario especifica una regla para obtener un elemento único de S. 
    Para el conjunto N = {1,2,3,4,…} es cerrado con respecto al operador binario (+) por las reglas de la adición aritmética, ya que para que cualquier elemento a,b pertenecientes a N por la operación a + b = c el conjunto de los números naturales no esta cerrado con respecto al operador binario (-) por la regla de la resta aritmética, debido a que 2-3 = -1 y 2,3 pertenecen a N pero -1 no pertenece a N. 
2.  Ley asociativa. 
    El operador binario (*) es un conjunto S es asociativo siempre que     x*y*z = x*(y*z)  para toda x, y pertenecientes a S. 
3.  Ley conmutativa. 
Un operador binario (*) para un conjunto S es conmutativo siempre que: x*y = y*x  para toda x,y pertenecientes a S. 
4.  Elemento identidad. 
El conjunto S tendrá un elemento identidad multiplicativo “identidad (*)” en S si existe un e perteneciente a S con la propiedad e*x = x*e =e para cada x pertenecientes a S. 
5.  Inversa. 
El conjunto S tiene un elemento identidad (e) con respecto al operador (*) siempre que para cada x perteneciente a S exista un elemento y perteneciente a S tal que x*y=e. 
6.  Ley distributiva. 
Si el operador (*) y el operador (.), son operadores binarios de S, (*) se dice que es distributivo sobre (.). 
Siempre que: 

x*(y . z) = (x*y) . (x*z)

- El operador binario (+) define la adición. - Identidad aditiva es el cero. - La inversa aditiva define la sustracción. - El operador binario (.) define la multiplicación. - Identidad multiplicativa es 1. - Inversa multiplicativa de A es igual a 1/A define la división esto es  A * 1/A = 1 - La única ley distributiva aplicable es la de operador (.) sobre el operador + (.) sobre (+)    a(b+c)=(a.b) +(a.c)

Para definir formalmente el álgebra de Boole se emplean postulados de Huntington. 
1. a) Cierre con respecto al operador (+) b) Cierre con respecto al operador (.) 
2. a) Un elemento identidad con respecto al operador (+), designado por el cero x+0 =0+x=x b) Un elemento identidad con respecto al operador (.) designado por el uno x*1=1*x=x 
3. a) Conmutativo con respecto al operador (+) : x+y = y+x b) Conmutativo con respecto al operador (.) : x*y =y*x 
4. a) El operador (.) es distributivo sobre el operador (+) : x.(y+z) = (x.y) + (y.z) b) El operador (+) es distributivo sobre el operador (.) : x+(x.z) = (x+y) . (x+z) 
5.  Para cada elemento de x pertenencia a B existe un elemento x’ complemento perteneciente a B denominado complemento de x tal que: 

a) x+x’ = 1 b) x’ = 0

6.  Existen cuando menos dos elementos x,y pertenecientes a B tal que x diferente de y.  Por lo tanto tenemos que el álgebra de Boole difiere de la aritmética y del álgebra ordinaria en la sig:

a) Los postulados Huntington: no incluyen al ley asociativa, no obstante esta ley es valida para el álgebra booleana (para ambos operadores)

b) La ley distributiva del operador (+) sobre el operador (.) esto es: x+(y.z) = (x+y).(x+z), la cual es valida para el álgebra de boole pero no para el álgebra ordinaria.

c) El álgebra booleana no tiene inversa aditiva a multiplicativa, por lo tanto no hay operaciones de sustracciones o división.

d) El postulado 5 define un operador llamado completo que no se encuentra en el álgebra ordinaria.

e) En el algebra de Boole se define un conjunto B de dos elementos (0 y 1) y el álgebra ordinaria trata con el conjunto de los números reales.

Postulado 2                            a) x + 0 = x                                        b) x . 1 = x Postulado 5                            a) x + x’ = 1                                       b) x . x’ = 0 Teorema 1                               a) x + x = x                                        b) x . x = x Teorema 2                               a) x + 1 = 1                                        b) x . 0 = 0 Teorema 3 involución                (x’)’ = x Teorema 3 conmutativo         a) x + y = y + x                                  b) xy = yx Teorema 4 asociativo             a) x + (y + z) = (x + y) +z                  b) x (yz) = (xy) z Postulado 4 distributivo         a) x (y + z) = xy +xz            b) x + yz = (x + y)(x+z) Teorema 5 morgan                 a) ( x + y)’ = x’ y’                              b) (xy) = x’ + y’ Teorema 6 absorción              a) x + xy = x                                      b) x (x + y) = x

Ejemplos:
  
x + x = x                                          x + xy = x x + x = (x + x) . 1                             x . 1 + xy = x x + x = (x + x) (x + x’)                     x (1 + y) = x x + x = x + xx’                                 x (y + 1) = x x + x = x + 0                                    x (1) = x x + x = x                                          x = x
  

Las variables booleanas pueden tomar varios valores de 1 ó 0. Una función booleana es una expresión formada por variables binarias.

Ejemplo: 
F1 = xyz’ 
Para F1 considerar que es igual a 1 si: 
    x = 1;  y = 1 ;  z’ = 1;  de otra manera F1 = 0. 
           Por lo tanto tendremos que una función booleana también puede representarse en una tabla de verdad.  Para representar una función booleana en una tabla de verdad se necesita una lsit de 2ncombinaciones de 1 y 0 de las n variables binarias, y una columna que muestra combinaciones para las cuales f es igual a 1 ó 0.
  




x  y z   F1 F2 F3 F4 0 0  0    0   0   1    0 0 0  1    0   1   0    0 0 1  0    1   0   0    0 0 1  1    1   1   1    1 1 0  0    1   0   0    1 1 0  1    0   0   1    1 1 1  0    1   1   1    1 1 1  1    0   1   0    1 

 

F1 = x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’  = x’y (z+z’) + xz’ (y+y’) = x’y + xz’

F2 = x’y’z + x’yz + xyz’ + xyz   = x’z (y+y’) + xy (z+z’) = x’z + xy 
F3 = x’y’z’ + x’yz + xy’z + xyz’ 
F4 = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz      = xy’ (z+z’) + xy (z+z’) + x’yz      = xy’ + xy + x’yz      = x (y+y’) + x’yz      = x + x’yz 

 

 FUNCIONES LOGICAS

 

 
 

Manipulación algebraica

           Cuando una función se incrementa con compuertas lógicas, cada literal en la función denota una entrada a una compuerta.

1. Cada literal denota la entrada a una compuerta. 2. Cada termino se implanta con una compuerta.

           Por el momento nos limitaremos a la minimización por literales.  Por lo cual debe quedar muy claro que en la manipulación algebraica no hay reglas especificas a seguir a que garanticen la respuesta final. 
Ejemplo: Reducir las siguientes funciones booleanas. 

1. x (x’+y) = xx’ + xy = xy 2. x’y’z + x’yz + xy = x’z (y+y’) + xy = x’z + xy 3. x + x’y = (x+x’)(x+y) = x+y

Complemento de una función.

           El complemento de una función F es F’ obteniendose por el intercambio de 1’s y 0’s y de 0’s y 1’s. 
Ejemplo:
  

(A+B+C)’ = (A+X)’    para   X = B+C A’ . X’   ?  A’ . (B+C)’ ? A’ . B’ .C’ (A+B+C+D+E+F+……..I) (A’.B’.C’.D’.E’.F’…….I’)

           La forma generalizada de D’Morgan enuncia que el complemento de una función se obtiene del intercambio de los operadores AND y OR y complementando cada literal. 

F1 = (x’yz’ + x’y’z)’ = (x+y’+z . x+y+z’) F2  = ? x (y’z’+yz)? = x’ + ? x (y+z).(y’+z’)?

           Otra forma más simple para derivar el complemento de una función es tomar el dual de la función y complementar cada literal.

           Hay que recordar que el cual de una función se obtiene por el intercambio de los operadores AND y OR y los 1’s y los 0’s. 
Ejemplo: 
F1 = x’yz’ + x’y’z el dual:  F1 = (x+y’+z) . (x+y+z’) 
Las variables pueden ser normales (x) ó complemento (x’). Cuando tenemos un conjunto de n variables nosotros podemos formar 2n miniterminos de acuerdo a la siguiente tabla: 
Para n=3  2n-1 combinaciones iniciando a partir de cero. 

        Cada minitérmino lo obtenemos de un término AND de las n variables y complementado cada variable si el número binario que representa es un 0 y no complementando si es un 1.

        Cada minitermino se representa por mj donde j representa el equivalente decimal del número binario del minitermino de la misma forma podemos tener los maxiterminos con las n variables formando un término OR para cada maxitermino. 
        En estas se hace la consideración de que cada variable no complementada corresponde al bit 0 y complementada al bit 1. 

F1= x’y’z + xy’z’ + xyz = m1+m4+m7 F2= x’yz + xy’z + xyz’ + xyz = m3+m5+m6+m7 F1’= x’y’z’ + x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’ (F1’)’ = (x+y+z) . (x+y’+z) . (x+y’+z’) . (x’+y+z’) . (x’+y’+z)           = M0 . M2 . M3 . M5 . M6

        
   El complemento de una función booleana lo podemos obtener al formar miniterminos para cada combinación que produce un cero en la función y aplicando el operador OR a esos términos. 
           Las funciones booleanas expresadas como una suma de miniterminos o productos de maxiterminos se dice que esta en forma canónica. 

 SIMPLIFICACION DE FUNCIONES

 

Suma de miniterminos. 
    Como sabemos cualquier función booleana puede expresarse como una suma de miniterminos.  La suma de estos elementos que son los que definen una función booleana son aquellos que dan los 1’s de la función en una tabla de verdad. 
    Algunas veces es conveniente expresar la función booleana en la forma de suma de miniterminos.  Si no puede hacerse en esta forma entonces puede realizarse primero por la expansión de la expresión en una suma de los términos AND. 
    Después cada término se inspecciona para ver si contiene todas las variables, si se han perdido una o más variables, se aplica el operador AND con una expresión x+x’ en donde x es una de las variables perdidas.

Ejemplo:  Expresar la función  F = A+B’C en una suma de miniterminos. 

F= A+B’C F(A,B,C) A= A(B+B’) = AB+AB’   = AB(C+C’) + AB’(C+C’)   = ABC + ABC’ + AB’C +AB’C’

B’C = B’C (A+A’)       = AB’C + A’B’C

F = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+AB’C+A’B’C F = A’B’C+AB’C’ +AB’C+ABC’+ABC F = m1+ m4+m5+ m6+ m7 F(A,B,C)=SUM(1,4,5,6,7)

La sumatoria representa al operador OR que opera en los términos y números siguientes son los minitérminos de la función. 
Las letras entre paréntesis que siguen a F forman una lista de las variables en el orden tomado cuando el minitérmino se convierte en un término AND. 


Producto de los maxitérminos. 
           Para expresar una función booleana como un producto de maxitérminos, primero debe llevarse a una forma de términos OR.  Esto es posible al uso de la ley distributiva; esto es si x+yz = (x+y) (x+z); para cualquier variable perdida x en cada término se opera a OR con xx’. 
Ejemplo: 

F = (x’+y) (x+z) (y+z) (x’+y) = x’+y+zz’          = (x’+y+z) (x’+y+z) (x+z)  = x+z+yy’          = (x+y+z) (x+y’+z) (y+z)  = y+z+xx’          = (x+y+z) (x’+y+z) F = (x’+y+z) (x’+y+z’) (x+y+z) (x+y’+z) (x+y+z) (x’+y+z) F = (x’+y+z) (x’+y+z’) (x+y+z) (x+y’+z) F = (x+y+z) (x+y’+z) (x’+y+z) (x’+y+z’)           M0       M2         M4        M5 F(x,y,z) = PI(0,2,4,5)

El operador PI denota la operación AND de maxitérminos; y los números son los maxitérminos de la función.
 

Conversión entre formas canónicas. 
           El complemento de una función expresada como suma de minitérminos es igual a la suma de los minitérminos perdidos de la función original. 
Ejemplo:
  

F(A,B,C) = SUM(1,4,5,6,7) F’(A,B,C) = SUM(0,2,3) = m0+m2+m3

Si obtenemos el complemento de F’ porque el teorema de D’Morgan se obtiene F en una forma diferente.
  

(F’)’ = (m0+m2+m3)’ = m0’.m2’.m3’ = M0 . M2 . M3 = PI(0,2,3)        = (x+y+z) . (x+y’+z) . (x+y’+z’)

F = A’D+BD+B’D A’D = A’D(B+B’)        = A’BD+A’B’D        = A’BD(C+C’) = A’BCD+A’BC’D        = A’B’D(C+C’) = A’B’CD+A’B’C’D BD  = BD(A+A’)        = ABD+A’BD        = ABD(C+C’) = ABCD+ABC’D        = A’BD(C+C’) = A’BCD+A’BC’D

B’D  = B’D(A+A’)        = AB’D+A’B’D        = AB’D(C+C’) = AB’CD+AB’C’D        = A’B’D(C+C’) = A’B’CD+A’B’C’D F = A’BCD+A’BC’D+A’B’CD+A’B’C’D+ABCD+ABC’D+AB’CD+AB’C’D

5.2.2 MINITERMINOS Y MAXITERNINOS 

Minitérminos

Para una función booleana de n variables x₁,...x_n, un producto booleano en el que cada una de las n variables aparece una sola vez (negada o sin negar) es llamado minterms. Es decir, un minterms es una expresión lógica de nvariables consistente únicamente en el operador conjunción lógica (AND) y el operador complemento o negación (NOT).

Por ejemplo, abc, ab'c y abc' son ejemplos de minterms para una función booleana con las tres variables a, b y c.

En general, uno asigna a cada minterm (escribiendo las variables que lo componen en el mismo orden), un índice basado en el valor binario del minterm. un término negado, como a' es considerado como el numero binario 0 y el término no negado a es considerado como un 1. Por ejemplo, se asociaría el número 6 con a b c'(110₂), y nombraríamos la expresión con el nombre m₆. Entonces m₀ de tres variables es a'b'c'(000₂) y m₇ debería ser a bc(111₂).

Función equivalente

Se puede observar que cada minterm solo devuelve 'verdadero' con una sola entrada de las posibles. Por ejemplo, el minterm 5, a b' c, es verdadero solo cuando a y c son ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da resultado 1.

Si tenemos una tabla de verdad de una función lógica, es posible escribir la función como "suma de productos". Por ejemplo, dada la tabla de verdad

a b f(a, b)

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 0

Observamos que las filas con resultado 1 son la primera y la tercera, entonces podremos escribir f como la suma de los minterms m₀ y m₂.

Si queremos verificar esto:

f(a,b) = m₀ + m₂ = (a'b')+(ab')

Tendremos que la tabla de verdad de la función, calculándola directamente, será la misma.

Maxitérminos

Un maxterm es una expresión lógica de n variables que consiste únicamente en la disyunción lógica y el operador complemento o negación. Los maxterms són una expresión dual de los minterms. En vez de usar operaciones AND utilizamos operaciones OR y procedemos de forma similar.

Por ejemplo, los siguientes son maxterms:

a+b'+c

a'+b+c

El complemento de un minterm es su respectivo maxterm. Esto puede ser fácilmente verificado usando la Ley de Morgan. Por ejemplo:

m₁' = M₁

(a'b)' = a+b'

Para indexar maxterms lo haremos justo de la forma contraria a la que seguimos con los minterms. Se asigna a cada maxterm un índice basado en el complemento del número binario que representa (otra vez asegurándonos que las variables se escriben en el mismo orden, usualmente alfabético). Por ejemplo, podemos asignar M₆(Maxterm 6) al maxterm a'+b'+c. De forma similar M₀ de tres variables debería ser a+b+c y M₇ es a'+b'+c'.

Función equivalente

Se puede ver fácilmente que un maxterm sólo da como resultado un cero para una única entrada de la función lógica. Por ejemplo, el maxterm 5, a'+b+c', es falso solo cuando a y c son ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da como resultado un cero.

Si tenemos una tabla de verdad de una función lógica, es posible escribir la función como "producto de sumas". Por ejemplo, dada la tabla de verdad

a b f(a, b)

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 0

Observamos que las filas que tiene como salida un 0 son la segunda y la cuarta, entonces podemos escribir f como un producto de maxterms M₁ y M₃.

Si queremos verificar esto:

f(a,b) = M₁ M₃ = (a+b')(a'+b')

Tendremos que la tabla de verdad de la función, calculándola directamente, será la misma

 5.2.3 MAPAS DE KARNAUGH

El mapa de Karnaugh es un método gráfico que se utiliza para simplificar una ecuación lógica para convertir una tabla de verdad a su circuito lógico correspondiente en un proceso simple y ordenado. Aunque un mapa de Karnaugh (que de aquí en adelante se abreviará como mapa K) se puede utilizar para resolver problemas con cualquier numero de variables de entrada, su utilidad practica se limita a seis variables. El siguiente análisis se limitara a problemas de hasta cuatro entradas , ya que los problemas con cinco y seis entradas son demasiado complicados y se resuelven mejor con un programa de computadora.

Formato del mapa de Kamaugh El mapa K, al igual que una tabla de verdad, es un medio para demostrar la relaci6n entre las entradas l6gicas y la salida que se busca. La figura +-11 da tres ejemplos de mapas K para dos, tres y cuatro variables, junto con las tablas de verdad correspondientes. Estos ejemplos ilustran varios puntos importantes:

1. La tabla de verdad da el valor de la salida X para cada combinaci6n de valores de entrada. El mapa K proporciona la misma informaci6n en un formato diferente. Cada caso en la tabla de verdad corresponde a un cuadrado en el mapa. Por ejemplo, en la figura 4-11 (a),

Figura 4-11 Mapas de Karnaugh y tablas de verdad para (a) dos, (b) tres y (c) cuatro variables.

la condicion A = 0, B = 0 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado A' B' en el mapa K. Ya que la tabla de verdad muestra X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el cuadrado A'B' en el mapa K. En forma similar, la condicion A = 1, B = 1 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado AB del mapa K, ya que X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el cuadrado AS. Los demás cuadrados se llenan con ceros. Esta misma idea se utiliza en los mapas de tres y cuatro variables que se muestran en la figura.

2. Los cuadrados del mapa K se marcan de modo que los cuadrados horizontalmente adyacentes so1o difieran en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior de la izquierda del mapa de cuatro variables es A'B'C'D' en tanto que el cuadrado que se encuentra a la derecha es A'B'C'D (solo la variable D es diferente). De la misma manera, los cuadrados verticalmente adyacentes difieren so1o en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior izquierdo es A'B'C'D' en tanto que el que se encuentra a la derecha es A'BC'D' (solo la variable B es diferente).

Note que cada cuadrado del renglon superior se considera adyacente al correspondiente cuadrado del renglon inferior .Por ejemplo, el cuadrado A'B'CD del renglon superior es adyacente al cuadrado AB'CD del rengl6n inferior porque so1o difieren en la variable A. Haga de cuenta que la parte superior del mapa se dobla hasta tocar la parte inferior. Asimismo, los cuadrados del extremo izquierdo de la columna son adyacentes a los del extremo derecho de la columna.

3. A fin de que los cuadrados que son adyacentes tanto vertical como horizontalmente difieran en una sola variable, el marcado de arriba hacia abajo debe hacerse en el orden indicado, -A'B', A' B, AB, AB'. Lo anterior también es válido para el marcado de izquierda a derecha:

4. Una vez que el mapa K se ha llenado con ceros y unos, la expresi6n de suma de productos para la salida X se puede obtener operando con OR aquellos que contienen un 1. En el mapa con tres variables de la figura 4-11(b), los cuadrados A'B'C', A'BC', A BC' y ABC contienen un 1, de modo que X = A'B'C' + A'B'C + A'BC' + ABC'.

Agrupamiento La expresión de salida X se puede simplificar adecuadamente combinando los cuadros en el mapa K que contengan 1. El proceso para combinar estos unos se denomina agrupamiento.

Agrupamiento de grupos de dos (pares) La figura 4-12(a) es el mapa K de una tabla de verdad con tres variables. Este mapa contiene un par de unos que son verticalmente adyacentes entre si; el primero representa A'BC' y, el segundo ABC'. Note que en estos dos términos sólo la variable A aparece en forma normal y complementada (B y C' permanecen sin cambio). Estos dos términos se pueden agrupar (combinar) para dar un resultante que elimine la variable A, ya que ésta aparece en forma normal y complementada. Esto se demuestra fácilmente como sigue:

Este mismo principio es válido para cualquier par de unos vertical u horizontalmente adyacentes. La figura 4-12(b) muestra un ejemplo de dos unos horizontalmente adyacentes. Estos se pueden agrupar y luego eliminar la variable C, ya que aparecen en forma no complementada y complementada para dar una resultante de X = A' B.

Otro ejemplo se da en la figura 4-12{c). En un mapa K los cuadrados de los renglones superior e inferior se consideran adyacentes. Asi, los dos unos en este mapa se pueden repetir para dar una resultante de A'B'C' + AB'C' + B'C'.

La figura 4-12(d) muestra un mapa K que tiene dos pares de unos que se pueden agrupar. Los dos unos en el renglón superior son horizontalmente adyacentes. Los dos unos en el renglón inferior son, asimismo, adyacentes puesto que en un mapa K los cuadrados de las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran adyacentes. Cuando se agrupa el par superior de unos, la variable D se elimina (ya que aparece como D y D') para dar el término A'B'C. El agrupamiento del par inferior elimina la variable C para dar el término AB'C'. Estos dos términos se operan con OR a fin de obtener el resultado final para X.

Para resumir lo anterior:

El agrupamiento de un par de unos adyacentes en un mapa K elimina la variable que aparece en forma complementada y no complementada.

Agrupamiento de grupos de cuatro (cuádruples) Un mapa K puede contener Un grupo de cuatro unos que sean adyacentes entre sí. Este grupo se denomina cuádruple. La figura 4-13 muestra varios ejemplos de cuádruples. En la parte (a) los cuatro unos son verticalmente adyacentes y en la parte (b) son horizontalmente adyacentes. El mapa K de la figura 4 - 13(c) contiene cuatro unos en un cuadrado y se consideran adyacentes entre sí. Los cuatro unos en la figura 4-13(d) también son adyacentes igual que los de la figura 4 - 13(e) ya que, como mencionamos anteriormente. los renglones superior e inferior y las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran adyacentes entre sí.

Cuando se repite un cuádruple, el término resultante contiene sólo las variables que no cambian de forma para todos los cuadrados del cuádruple. Por ejemplo, en la figura 4 - 13(a) los cuatro cuadrados que contienen un uno son A'B'C, A'BC, ABC y AB'C. El análisis de estos términos revela que solamente la variable C permanece sin alterarse (A y B aparecen en forma complementada y no complementada). De este modo, la expresión resultante para X es simplemente X = C. Esto se puede demostrar de la siguiente manera:

Para poner otro ejemplo, consideramos las figura 4 - 13(d), donde los cuatro cuadrados que contienen unos son ABC'D', A'B'C'D', ABCD', y AB'CD'. El análisis de estos términos indica que sólo las variables A y D' permanecen sin cambios, así que la expresión simplificada para X es

X = AD

Esto se puede probar de la misma manera anteriormente utilizada.

El lector debe verificar cada uno de los otros casos de la figura 4 -13 para comprobar que sean las expresiones indicadas para X.Para resumir:

El agrupamiento cuádruple de unos elimina las dos variables que aparecen

en la forma complementada y no complementada.

Agrupamiento de grupos en ocho (octetos) Un grupo de ocho unos que son adyacentes entre sí se denomina octeto. En lafigura 4-14 se dan varios ejemplos de octetos. Cuando

porque solo una de ellas permanece inalterada. Por ejemplo, el análisis de los ocho cuadrados agrupados en la figura 14 -14(a) muestra que so1o la variable B está en la misma forma para los ocho cuadrados; las otras variables aparecen en forma complementada y no complementada. Así, para este mapa, X = B. El lector puede verificar los resultados de los otros ejemplos en la figura 4 - 14.